Matematiğin Sınırlarında: Çelişki, Sonsuzluk ve İmkânsızlıkla Uzlaşma
Özden Çetin
Matematik, klasik anlamda mantıksal tutarlılığın ve içsel çelişkisizliğin simgesi olarak kabul görmüştür. Ancak bu idealize edilmiş çerçeve, tarih boyunca ortaya atılan bazı kavramlarla zorlanmış ve hatta zaman zaman kırılmıştır. Özellikle karmaşık sayılar, limit kuramı ve kalkülüs gibi alanlarda, soyutlamanın sınırları ile mantığın sınırları arasında keskin çatlaklar oluşmuştur. Bu çatlaklar, yalnızca teorik birer problem olarak kalmamış; aksine, modern matematiğin yapı taşlarına dönüşmüştür. Aşağıda sunulan düşünsel çözümleme, bu yapay tutarlılığın içindeki çelişkileri ifşa eden bir sorgulama çabasıdır.
Herhangi bir reel sayının karesi, daima pozitif veya sıfırdır. Dolayısıyla, negatif bir sayının karekökünü reel sayılar kümesinde tanımlamak mümkün değildir. Buna rağmen, modern matematikte -1’in karekökü olarak tanımlanan ve “i” sembolüyle gösterilen birim karmaşık sayı, büyük bir teorik genişlemeye olanak tanımıştır. Ne var ki, bu sayı, yalnızca aritmetik düzeyde bir genişleme değil, aynı zamanda mantıksal bir ihlalin de ifadesidir. Zira kendi içinde çelişkili görünen bu tanım, klasik mantığın özdeşlik ve çelişmezlik ilkeleriyle doğrudan bağdaşmaz. Yine de “i” sayısı, cebirsel çözümlerin tamamlanmasında, diferansiyel denklemlerin çözümlenmesinde ve hatta kuantum mekaniğinde temel bir rol üstlenmiştir.
Bu bağlamda, “i” kavramı yalnızca matematiksel bir araç değil, aynı zamanda disiplinin kendi sınırlarını aşmak pahasına oluşturduğu bir kurmaca gerçekliktir. Eğer matematiksel sistem yalnızca çelişkisizliğe dayalı olsaydı, karmaşık sayılar kümesi gibi genişlemeler mümkün olmazdı. Bu durum, matematiksel yapının yalnızca mantıksal değil, aynı zamanda pragmatik ve yapısal kaygılarla da şekillendiğini göstermektedir.
Kalkülüs ve Limit: Sonsuzluğun Maskelenmiş Temsili
Kalkülüs, özellikle 17. yüzyıldan itibaren fiziksel dünyayı modellemek amacıyla geliştirilen en güçlü matematiksel araçlardan biri haline gelmiştir. Ancak diferansiyel ve integral hesaplarının temellendirildiği ilk dönemlerde, bu yöntemler “sonsuz küçük” ya da “sonsuz büyük” büyüklükler üzerine kuruluydu. Söz konusu büyüklüklerin varlığı, ontolojik olarak ciddi tartışmalara yol açmıştır. Zira sonsuz küçük bir niceliğin tanımı gereği, sıfırdan farklı olması gerekirken, ölçülebilir olmaması gibi çelişkili özellikler taşıması gerektiği varsayılıyordu.
Bu problemi aşmak üzere geliştirilen “limit” kavramı, esasen sonsuzluğun doğurduğu mantıksal sorunları teknik bir araçla bertaraf etme girişimi olarak ortaya çıkmıştır. Limit, diferansiyel hesapta kullanılan sonsuz küçük büyüklüklerin gerçek değil, yalnızca potansiyel olarak var olduğunu ima ederek, matematiksel işlemleri daha rasyonel bir zemin üzerine oturtmayı amaçlamıştır. Ancak bu yaklaşım, gerçekte sonsuzluğu tümüyle dışlamamakta, sadece onun doğrudan kullanımını maskelenmiş bir biçimde yeniden üretmektedir. Bu bağlamda, limit kavramı matematiğin kendi içinde oluşturduğu bir “incir yaprağı” olarak değerlendirilebilir: Görünürde çelişkileri ortadan kaldırsa da, özde onları saklamaya yönelik bir araçtır.
Herhangi bir şeyin karesinin negatif bir büyüklük olması bir çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Öyleyse -1’in kare kökü sadece bir çelişki değil saçma bir çelişki, gerçek bir saçmalıktır. Ama yine de birçok durumda hatasız bir matematiksel işlemin zorunlu sonucudur. Dahası, -1’le işlem yapılması yasaklansaydı, ister yüksek olsun ister basit, matematik ne hale gelirdi?
“Limit” kavramı, aslında sonsuzluğa içsel olan çelişkinin üstesinden gelme çabası olarak devreye sokuldu. Bu çaba, matematikçilerin düşünüp taşınmaksızın kalkülüsü basitçe kabul etmeye –tıpkı eski kuşakların alışık oldukları gibi– artık yanaşmadıkları 19. yüzyılda özellikle çok yaygındı. Diferansiyel hesap, çeşitli derecelerden –birinci dereceden, ikinci dereceden vs.– sonsuz ölçüde küçük büyüklüklerin varlığını ön koşul olarak kabul etti. İşin içine “limit” kavramını katarak, en azından gerçek bir sonsuzluğun gerekmediği izlenimini oluşturdular. Niyet sonsuzluk fikrinin öznel olduğunu göstermek, nesnelliğini inkâr etmekti. Bu değişkenler madem verili herhangi bir nicelikten daha küçük olabiliyorlar o halde potansiyel olarak sonsuz ölçüde küçük olabilirler dendi, tıpkı potansiyel olarak sonsuzun önceden tespit edilmiş herhangi bir büyüklükten daha büyük olabileceği gibi. Başka bir deyişle, “istediğiniz kadar büyük veya küçük!” Bu el çabukluğu, zorluğu ortadan kaldırmadı, sadece kalkülüsün içindeki çelişkileri örtmek için bir incir yaprağı sağladı.
Bu bölümde ifade edilen yaklaşım, yalnızca tarihsel bir eleştiri değil; aynı zamanda modern matematiğin metodolojik olarak nasıl inşa edildiğine dair felsefi bir sorgulamayı da içinde barındırır. -1’in karekökü olarak tanımlanan “i” sayısı, reel sayıların alanını genişletirken, aslında klasik mantığın “çelişmezlik ilkesi”ni doğrudan ihlal eder. Limit kavramı ise sonsuzluk gibi sezgisel olarak kavranması güç bir olguyu, formel işlemlerle manipüle edilebilir bir niceliğe indirger. Bu iki örnek de matematiğin, belirli alanlarda tutarlılığını korumak adına, çelişkiyi sistematik olarak tolere ettiğini göstermektedir.
Descartes için matematiksel bilgi, kuşkuya yer bırakmayan açık ve seçik doğrulara dayanmalıydı. Ancak -1’in karekökü gibi bir kavram, Descartes’ın rasyonalizmiyle temellenen bilgi anlayışını doğrudan ihlal eder. Zira burada, mantıksal kesinlik değil, işlevsel fayda öncelenmiştir.
Kant ise matematiği “a priori sezgiler” aracılığıyla mümkün kılar; zaman ve mekân bu sezgilerin temelidir. Ancak karmaşık sayılar ve sonsuzluk kavramı, Kant’ın mekânsal sezgisiyle temellendirilemeyecek ölçüde soyut ve sezgisel olmayan bir düzlemde varlık kazanır.
Wittgenstein ise bu tür sorunlara dil felsefesi üzerinden yaklaşır. Ona göre matematiksel ifadelerin anlamı, kullanım biçimleriyle belirlenir. “i” ya da “limit” gibi ifadeler, çelişkili de olsalar, belirli dil oyunları içinde işlevseldir ve bu işlevsellik onların anlamını oluşturur. Dolayısıyla burada gerçeklikten değil, oyun kurallarından söz edilir.
Imre Lakatos ise bu tartışmaları daha sistematik bir zemine taşır. Ona göre matematik bir “birikimli doğrular bütünü” değil, çelişkiler üzerinden evrilen bir araştırma programıdır. “Yanlışlanabilir teoremler” ve onları kurtaran “yardımcı hipotezler” matematiğin ilerlemesinde belirleyici rol oynar. “Limit” kavramı ya da “i” sayısı, tam da bu türden bir metodolojik müdahaledir: çelişkiyi bastırmaz, onunla birlikte çalışır.
Matematikteki çelişkilerle kurulan bu tuhaf uzlaşma, aslında insan zihninin varlıkla ilişkisindeki kadim bir yarığı yansıtır. Descartes’a göre düşünce “varlık”ın delilidir; Kant için akıl, doğanın yasalarını önceden yapılandırır. Ancak bu iki düşünce de bir tür “özne merkeziyetçi” tutarlılık kurgusu içinde işler. Oysa Sûfî gelenekte varlık, öznenin değil, mutlak Hiçliğin eteğinden anlaşılır.
Özellikle Melamilik geleneğinde, çelişki bir ayıp değil, bir haldir. Kendi içindeki çelişkiyi fark eden kişi, benliğin sınırlarını kavramaya yaklaşmıştır. Tıpkı “i” sayısı gibi: tanımı yoktur, ama sistemin işleyişi için zorunludur. Melamî bir bakışla bu şu anlama gelir: “Anlam, görünürde değil, çelişkide saklıdır.” Çelişki, aklın yanılgısı değil; hakikatin işaretidir.
Mevlânâ, çelişkinin merkezde olduğu bu bilinç hâlini şöyle tanımlar:
“Akıl bir zincirdir, sevda bir deniz. Denizden zincirle ne çıkar ki?”
Bu bağlamda, matematikteki limit kavramı ile Sûfî düşüncedeki “fenâ” (benliğin yokluğu) arasında mecazi bir benzerlik kurulabilir. Limitte sonsuza yaklaşılır ama ulaşılmaz. Fenâ’da kul, varlıktan silinir ama yok olmaz. Her ikisi de “sonsuzlukla temas”ın mantıksal değil, sezgisel ve tecrübî biçimlerini temsil eder.
Matematiksel sistemler bize doğayı anlamanın rasyonel yollarını sunar. Ancak bazı kavramlar, örneğin “i” ya da “limit”, bu sistemlerin özünde çelişki barındırdığını ifşa eder. Bu çelişkiler bastırılmaz; bilakis işlevselleştirilir, kabul edilir. Descartes’ın rasyonelliğinden Kant’ın yapılandırıcı aklına, Wittgenstein’ın dil oyunlarından Lakatos’un araştırma programlarına kadar her kuram bu çelişkilere bir çözüm önerir. Ama belki en radikal çözüm, çelişkiyi çözmek değil, onunla susarak yaşamak olabilir.
Çünkü Sûfî gelenek bize şunu fısıldar: Bazı hakikatler ne formüle sığar, ne tanıma. Onlar yalnızca çelişki olarak kalır, çünkü insan zihni, sonsuzun gürültüsünü ancak sessizlikte duyar.
Bu durum, yalnızca matematik anlayışımızı değil, aynı zamanda bilgi ve gerçeklik algımızı da sorgulamaya açar. Belki de sorulması gereken soru şudur: Gerçeğe ulaşmak adına hangi çelişkileri görmezden gelmeye razıyız? Matematik, çelişkiyi bastıran bir sistem değil, onu yapıbozumla dönüştüren bir gelenektir. Bu nedenle, onun kesinliği bir inşa, saflığı ise bir illüzyondur.
Özden Çetin
